Algebra I by Walter Gubler

By Walter Gubler

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A0 gilt. Also ist 1, β, . . , β n−1 ein K-Erzeugendensystem. Die Eindeutigkeit der Koordinaten a0 , . . , an−1 ∈ K folgt leicht aus der Eindeutigkeit von r(x) und der Konstruktion. Damit ist 1, β, . . 7. Wir betrachten die Funktion f (x) := x2 + 1 ∈ R[x], hier ist also K := R. Dieses Polynom ist irreduzibel, denn sonst w¨ urde f (x) = g(x)h(x) mit grad(g) ≥ 1, grad(h) ≥ 1 gelten f¨ ur geeignete g, h ∈ R[x]. Weil 2 = grad(f ) = grad(g) + grad(h) gilt =⇒ grad(g) = grad(h) = 1. das heißt g(x) = a1 x + a0 mit a1 = 0 und a0 , a1 ∈ R =⇒ − aa10 ist Nullstelle von g(x) und damit auch von f (x).

Der Ring R[x] der Polynome in der Variablen x mit Koeffizienten in R wird analog zum in der linearen Algebra betrachteten Spezialfall eines K¨orpers definiert. Wenn R ein Teilring von S ist, dann haben wir f¨ ur s ∈ S einen Ringhomomorphismus R[x] −→ S, f → f (s), der Einsetzungsungshomomorphismus heißt. Allgemeiner gilt: Sei f : R −→ S ein Ringhomomorphismus und sei s ∈ S, dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕS : R[x] −→ S mit ϕS (x) = s. Um ihn zu konstruieren, setzt man ϕS ( ak xk ) := ϕ(ak )sk .

Beweis. Induktion nach r: p1 prim p1 | q1 . . qs =⇒ p1 | q1 (nach Vertauschung) ∃u ∈ M ∗ : p1 = uq1 . Somit gilt q1 irred. h. uq1 p2 . . pr = q1 . . qs . Weil u eine Einheit ist, muss auch p2 := up2 prim sein. Mit der K¨ urzungsregel folgt p2 p3 . . pr = q2 . . qs . Mit Induktion folgt dann die Behauptung. 5. 11. M faktoriell ⇐⇒ M gen¨ ugt der Primbedingung und der Teilerkettenbedingung. Beweis. 8 liefert die Teilerkettenbedingung. Die Primbedingung ¨ 7 A26. ist Ub. 10 die Eindeutigkeit. 12.

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